La legge di Hubble e la cinematica delle particelle

La legge di Hubble è una diretta conseguenza del PC. Consideriamo l'espansione dell'Universo, che in accordo al Principio Cosmologico deve avvenire in maniera omogenea e isotropa. Due particelle inizialmente separate da una distanza l₀, saranno separate ad un tempo successivo t da una distanza l(t)=a(t)l₀, vedi Figura 1.2, a causa dell'espansione. Per soddisfare il PC, la funzione a(t), conosciuta come fattore di scala, può essere una funzione solo del tempo. Dalla relazione precedente, differenziando, si ottiene che la velocità relativa di un osservatore rispetto ad ogni altro è:

$$v(t)=\frac{dl}{dt}=\dot{a} l_{0}= \Big( \frac{\dot{a}}{a} \Big)l(t) = H(t) l(t),$$

dove $\dot{a}$ è la derivata rispetto al tempo del fattore di scala.

Da questa derivazione della legge di Hubble diventa evidente che la Costante di Hubble dipende dal tempo; in questa nuova maniera di definire $H(t)=\dot{a}(t)/a(t)$, H(t) misura la velocità con cui cambia il fattore di scala, a(t), e inoltre offre un modo di legare le osservazioni ad un modello particolare per mezzo del fattore di scala.

Figure 1.2: Con l'espansione dell'Universo la distanza tra le galassie aumenta in maniera proporzionale al fattore di scala, L(t)=a(t) L₀