La funzione di correlazione

Una statistica comune per caratterizzare il clustering delle galassie è la funzione di correlazione a due punti.

Poiché le osservazioni sono proiettate sulla sfera celeste, la funzione di correlazione viene calcolata dalle posizioni angolari degli oggetti nei cataloghi. Naturalmente se si hanno a disposizione i redshift degli oggetti si può calcolare direttamente la funzione di correlazione spaziale, ma i cataloghi con redshift sono ancora relativamente pochi e quindi le correlazioni angolari galattiche sono le uniche sicuramente disponibili. Con ipotesi e assunzioni aggiuntive si può stimare poi la funzione spaziale da quella angolare [Limber, 1954,Fall, 1979].

La funzione di correlazione angolare^4.1 w($\theta$) è la proiezione della funzione di correlazione spaziale, $\xi(x)$, ed è definita in termini della probabilità congiunta di trovare due galassie separate da una distanza angolare $\theta$ rispetto alla probabilità che ci si aspetterebbe per una distribuzione casuale,

$$\delta P + N^2[1+w(\theta)]\partial \Omega_1 \Omega_2,$$

dove $\Omega_1$ e $\Omega_2$ sono elementi dell'angolo solido e N è la densità superficiale media degli oggetti. Se w($\theta$) è nullo, la distribuzione è omogenea.

I maggiori problemi nella stima della funzione di correlazione angolare riguardano la mancanza di conoscenza della sottostante densità uniforme convoluta con gradienti veri o artificiali su larga scala, le dimensioni piccole del campione, e le interazioni del campione con i problemi di bordo. Nel corso degli anni, diversi stimatori sono stati stati proposti per ovviare a questi problemi e misurare la funzione di correlazione con la minima distorsione e varianza possibile.

Generalmente viene ipotizzato che la varianza negli stimatori sia una statistica Poissoniana dei conteggi in ogni intervallo [Peebles, 1980], ma questa è solo una previsione ottimistica che ad un'analisi approfondita, attraverso simulazioni, si rivela vera solo per pochissimi stimatori [Landy & Szalay, 1993].

Il lavoro originale svolto in questa tesi si è focalizzato come precedentemente sottolineato nell'interfaccia tra le predizioni dei modelli CDM e gli osservabili ottenuti da survey ad alto redshift. Ci si è concentrati nello sviluppo di un codice originale, mostrato nell'appendice B, basato su due stimatori:

$$\hat{w}(\theta) = \frac{DD(\theta)}{DR(\theta)} - 1$$ (4.1)

e

$$\hat{w}(\theta) = \frac{DD(\theta) - 2DR(\theta) + RR(\theta)}{RR(\theta)},$$ (4.2)

proposti da Peebles (1980, PB) a da Landy & Szalay (1993, LS), rispettivamente, dove DD($\theta$) è il numero di coppie di galassie osservate con separazioni angolari comprese nell'intervallo ($\theta$, $\theta +\delta\theta$), RR($\theta$) è la quantità per un catalogo casuale di oggetti distribuiti omogeneamente e DR($\theta$) è il numero di coppie galassie-oggetti casuali. Entrambe queste statistiche producono stime di w($\theta$) distorte verso il basso di un fattore (la ``integral constraint'') I $\simeq$ 1 + O[($\theta_0$/$\theta_{max}$)$^{\beta}$], dove w($\theta_0$) = 1 [Peebles, 1974] e $\beta > 1$.

Le proprietà dei due estimatori sono state discusse da Landy & Szalay (1993). Il risultato rilevante per la nostra analisi è il fatto che la varianza dello stimatore LS è più piccola di quello PB, ed è vicina alla varianza di una distribuzione di Poisson. In più lo stimatore LS risulta meno sensibile a effetti di bordo e a variazioni spurie della densità superficiale galattica. Per questo motivo, nella stima dei parametri caratteristici della struttura analizzata, abbiamo misurato w($\theta$) con il solo stimatore LS.