Lo spettro di potenza e la sua evoluzione

La perturbazione totale in una qualsiasi posizione spaziale è ottenuta da una sovrapposizione di modi con differenti numeri d'onda:

$$\delta(x,t)=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\delta_k(t)exp(ik\cdot x).$$ (3.21)

Sia $\delta_{\lambda}(t_i)$ l'ampiezza della perturbazione di densità della componente dominante la massa dell'Universo (la materia oscura) corrispondente ad una lunghezza d'onda $\lambda$ all'istante iniziale t_i. Siamo interessati all'evoluzione dei modi $\delta_{\lambda}$ nel tempo. Per quanto visto nel paragrafo precedente, in approssimazione lineare, in un Universo dominato da materia si può scrivere:

$$\delta_{\lambda}(t-t_i) = \delta_{\lambda}(t_i) a(t),$$

L'assegnazione di $\delta_{\lambda}(t_i)$ è uno dei problemi irrisolti della cosmologia. Ogni teoria completa di formazione della struttura a larga scala dovrebbe specificare questa funzione basandosi su considerazioni fisiche. In assenza di una teoria, la procedura standard è quella di fare ragionevoli assunzioni per questa quantità e paragonarle successivamente alle osservazioni. Per quanto visto nel primo capitolo, in un Universo dominato da materia, l'intervallo di lunghezze d'onda interessato nell'analisi della struttura a larga scala, cioè nell'analisi delle strutture che possono collassare, non è molto grande. Il tentativo che si fa in genere è quello di approssimare questa funzione con una semplice legge di potenza:

$$\delta_{\lambda}(t_i) = A\lambda^{\alpha},$$

dove i parametri A e $\alpha$ danno conto rispettivamente dell'intensità delle fluttuazioni e del rapporto tra le fluttuazioni su larga scala e su piccola scala. Ad ogni $\lambda$ si può associare un numero d'onda $k \propto \lambda^{-1}$ e una massa $M \equiv \frac{4\pi}{3}\Big(\frac{\lambda_J}{2}\Big)^3$; e quindi possiamo indicare, alternativamente, la perturbazione come $\delta_M(t)$ o $\delta_k(t)$ con lunghezze di scala $M \approx \lambda^3$, $k \approx \lambda^{-1}$.

Dalla 3.21 si vede che l'intensità della perturbazione può essere quantificata dal valore di $\vert\delta(x,t)\vert^2$ e che i modi che si trovano nell'intervallo (k,k+d³k) contribuiscono con una quantità proporzionale a $d^3k\vert\delta_k\vert^2$ al $\vert\delta(x,t)\vert^2$ totale. Scrivendo il contributo come $d^3k\vert\delta_k\vert^2 \simeq k^2dk\vert\delta_k\vert^2 \simeq d(\ln k) (k^3\vert\delta_k\vert^2)$ si vede che ogni intervallo logaritmico contribuisce al $\vert\delta(x,t)\vert^2$ con una quantità $(k^3\vert\delta_k\vert^2)$. La 3.21 definisce lo spettro di potenza del campo di densità della massa rispetto al numero d'onda e puo' essere parametrizzato anche nella forma più standard con la legge di potenza $\vert\delta(k,t)\vert^2 \propto k^n$ ad un dato tempo t. È facile verificare che l'indice n è legato ad $\alpha$ dalla relazione n = (4 - 2$\alpha$). Il valore di n, come $\alpha$, a sua volta caratterizza la distribuzione delle fluttuazioni rispetto al numero d'onda. Un valore speciale è n=1, lo spettro di Harrison-Zeldovich i.e. $(k^3\vert\delta_k\vert^2)\propto k^4$. Tale spettro è definito spettro invariante di scala perché in esso non predominano né le piccole né le grandi scale, ed é lo spettro predetto dalla teoria inflazionaria [Guth, 1982] per la distribuzione primordiale di massa. Per vedere come nasce il nome di spettro invariante di scala, consideriamo una perturbazione $\delta\Phi$ nel potenziale gravitazionale:

$$\nabla^2\delta\Phi= 4\pi G\rho_0\delta \quad\Rightarrow\quad \delta\Phi_k = -4\pi G\rho_0\delta_k/k^2.$$

Il termine k^-2 nella seconda equazione è dovuto al $\nabla^2$ e implica che, se $(k^3\vert\delta_k\vert^2)\propto k^4$ per lo spettro di potenza delle fluttuazioni di densità, $\Delta^2_\Phi$ è costante. Poiché le perturbazioni di potenziale tracciano la piattezza dello spazio-tempo, $\Delta^2_\Phi$ costante implica che lo spettro invariante di scala corrisponde ad una metrica frattale: lo spazio-tempo ha lo stesso grado di irregolarità su ogni scala di risoluzione. Col passare del tempo, le ampiezze crescono in proporzione ad a(t). Quando $\delta$ diventa dell'ordine dell'unità ad una qualche lunghezza d'onda, la teoria lineare non è più valida nell'intorno di quella lunghezza d'onda. Per un Universo dominato da materia oscura calda (HDM) le prime strutture che si formano, cioè le perturbazioni per cui si raggiunge prima la non linearità ( $\delta \approx$ 1), avranno masse di quasi 10¹⁴M$_\odot$. La successiva evoluzione che comporta la frammentazione di queste strutture genererà uno spettro di potenza con componenti significative a scale più piccole (scenario ``top-down''). Per un Universo dominato da materia oscura fredda (CDM), le scale più piccole raggiungono la non linearità prima (scenario ``bottom-up''); comunque c'è una notevole interferenza tra le varie scale, poiché, in maniera abbastanza veloce, scale sempre più grandi diventano non lineari e perturbano le scale piccole. I processi non lineari saranno discussi nella prossima sezione.

Vediamo adesso, almeno qualitativamente, cosa succede alla componente barionica della massa. Cerchiamo di capire come evolvono le perturbazioni di densità nella componente che darà origine all'Universo luminoso. Le perturbazioni barioniche cominciano a crescere, come visto nel Capitolo 1, subito dopo il disaccoppiamento. Poiché le perturbazioni della componente oscura della materia, la componente dominante la massa dell'Universo, hanno cominciato a crescere prima per la minore interazione con la componente di radiazione, il contrasto di densità della materia oscura è più alto di quello dei barioni. La crescita delle perturbazioni barioniche è allora guidata dalle inomogeneità già esistenti nella distribuzione di materia oscura. È come se la materia barionica appena disaccoppiata trovasse già formate le buche di potenziale e vi cadesse dentro immediatamente. Perciò subito dopo il disaccoppiamento si ha:

$$\delta_B(\lambda,t) \approx \delta_{DM}(\lambda,t).$$

Questo discorso vale naturalmente per tutte le lunghezze d'onda alle quali $\delta_{DM}$ è significativo. Nello scenario CDM questo intervallo è abbastanza ampio, approssimativamente da 10⁵M$_\odot$ a 10¹⁴M$_\odot$. Le perturbazioni barioniche vengono generate su tutte queste scale.

Nello scenario HDM la situazione è in qualche modo differente: $\delta(\lambda,t)$ è concentrato in un intervallo stretto attorno a 10¹⁴M$_\odot$ e questo genera uno spettro di perturbazioni barioniche solo in questo intorno.

Abbiamo visto come la teoria lineare preveda, assegnato un spettro di perturbazione iniziale della massa, una descrizione precisa di come evolva tale spettro. Abbiamo mostrato come lo spettro delle fluttuzioni si possa in maniera verosimile approssimare con una legge di potenza $\vert\delta_k\vert^2=VAk^n$ dove n è l'indice spettrale e A è l'ampiezza ad epoche primordiali. (Il volume di normalizzazione V viene aggiunto per convenienza.) I valori di questi due parametri dovrebbero essere definiti dal modello fisico che descrive la genesi dello spettro iniziale. In mancanza di una realistica predizione teoretica di A e n, è meglio trattarli come parametri liberi da determinare paragonando il modello alle osservazioni.