La relazione tra il campo di densità e quello di velocità

Poiché l'attrazione su una galassia da ogni regione con eccesso di densità cresce nella stessa proporzione, l'accelerazione della galassia, e quindi la sua velocità peculiare, è sempre parallela alla forza gravitazionale locale. Quindi misurando i moti peculiari si può ricostruire il vettore di forza e la distribuzione di massa.

Per vedere meglio questo discorso, scriviamo la velocità u(x,t) della materia in un punto x come la somma della velocità di allontanamento dall'origine dovuta all'espansione cosmica media e di una velocità peculiare v:

$$\textbf{u}(\textbf{x},t)=\bar{H}(t)\textbf{x}+\textbf{v}(\textbf{x},t).$$ (3.11)

L'equazione di conservazione della massa lega il campo di velocità alla densità, $\rho(\textbf{x},t)=\bar{\rho}(t)[1+\delta(\textbf{x},t)]$:

$$\Bigg(\frac{\partial \delta}{\partial t} \Bigg)_x + \nabla_x\cdot\rho \textbf{u}=0.$$ (3.12)

Ricordandoci che i termini contenenti le quantità medie si cancellano e trascurando i termini del secondo ordine si ottiene:

$$\Bigg(\frac{\partial \delta}{\partial t} \Bigg)_x + \bar{H}(t)\textbf{x}\cdot\nabla_x\delta + \nabla_x\textbf{v} = 0.$$ (3.13)

Ponendo $\textbf{x} = \bar{a}(t)\textbf{r}$, si passa alla coordinata r comovente con l'espansione cosmica. La derivata rispetto al tempo su un punto a r è:

$$\Bigg(\frac{\partial}{\partial t}\Bigg)_r = \Bigg(\frac{\par... ...ial t}\Bigg)_x + \bar{H}(t)\textbf{x}\cdot\nabla_{\textbf{x}},$$ (3.14)

e poichè $\bar{a}(t)\nabla_r = \nabla_x$, l'equazione 3.13 si semplifica in:

$$\Bigg(\frac{\partial \delta}{\partial t} \Bigg)_r + \nabla_x\textbf{v} = 0.$$ (3.15)

Definiamo ora un potenziale velocità $\Phi_V$ in modo che sia $\textbf{v} = \nabla_x\Phi_V$ e quindi l'equazione precedente si scrive:

$$\nabla_x^2\Phi_V = - \Bigg(\frac{\partial\delta}{\partial t}\Bigg)_r.$$ (3.16)

Per un volume abbastanza piccolo, se assumiamo che l'Universo intorno sia omogeneo e isotropo, possiamo usare le leggi di Newton per calcolare la forza F_g corrispondente alla deviazione locale dalla densità media $\bar{\rho}$, e il potenziale $\Phi_g$ tale che $F_g = - \nabla\Phi_g$. L'equazione di Poisson si scrive allora come:

$$\nabla^2_x\Phi_g= -\nabla_x\cdot F_g = 4\pi G\bar{\rho}\delta(x,t),$$ (3.17)

che appare molto simile a quella per $\Phi_V$. L'equazione 3.9 ci assicura che tutte le perturbazioni crescono allo stesso tasso, quindi $\delta(x,t)\propto \partial\delta(x,t)/\partial t$. Allora poichè sia v(x,t) che F_g tendono a zero appena |x| cresce, le soluzioni dell'equazioni 3.16 e 3.17 devono essere proporzionali: la velocità peculiare è diretta nella stessa direzione della forza dovuta alla concentrazione locale di materia. Dividendo le parti destre delle 3.16 e 3.17, troviamo:

$$\frac{\vert v(x,t)\vert}{F_g} = \frac{\bar{H}(t)f}{4\pi G\ba... ...{\partial\delta}{\partial t}\Bigg)_r\Bigg/\frac{d\bar{a}}{dt}.$$ (3.18)

Dall'equazione 3.9, in un Universo dominato da materia si trova f = 1 per $\Omega \approx 1$, e f tende a zero per $\Omega$ che tende a zero; in generale, una buona approssimazione risulta essere $f(\Omega) \approx \Omega^{0.6}$. In analogia alla soluzione dell'equazione di Poisson e dalla relazione appena trovata, possiamo scrivere la velocità peculiare come:

$$v(x,t) = \frac{\bar{H}(t)f(\Omega)}{4\pi}\int\frac{\delta(x')(x-x')}{\vert x-x'\vert^3}d^3x'.$$ (3.19)

Questa equazione mostra come il contrasto di densità $\delta(x)$ possa essere ricavato dalle osservazioni del campo di velocità peculiari. Dall'altro lato, se avessimo informazioni indipendenti su v(x) e $\delta(x)$, si potrebbe usare questa equazione per avere informazioni sul parametro $\Omega$ e sulla validità della approssimazione lineare in genere.

Riscriviamo la 3.19 in una forma più trasparente, come:

$$\nabla \cdot v = -H_0\Omega^{0.6}\delta(x).$$ (3.20)

In altre parole, la divergenza del campo di velocità ci restituisce l'attuale distribuzione di massa nell'Universo. Paragonando $\delta(x)$ con la distribuzione osservata di materia luminosa, l'unica che siamo in grado di misurare direttamente, possiamo tentare di capire se la materia oscura e quella luminosa si distribuiscono in maniera simile. Dalle misure effettuate sul Gruppo Locale^3.1 è stata evidenziata l'esistenza di una grande sovradensità, il Grande Attrattore, che i modelli di Universo dominati da materia oscura non riescono a spiegare. Questo tipo di approccio al calcolo del campo di materia presenta un problema legato alla stima del campo di velocità senza utilizzare il redshift delle galassie. I redshift danno informazioni sulla componente radiale della velocità, che è dovuta in parte all'espansione cosmica e in parte ai moti peculiari. Per isolare questi ultimi c'è bisogno di stimare la distanza della galassia e poter scrivere

v_pec=v - Hr

da cui ottenere una mappa dettagliata del campo di velocità radiale dell'Universo. Ci sono stati alcuni tentativi di tracciare il campo di velocità peculiari usando diversi tipi di oggetti astronomici (galassie ellittiche e spirali, stelle peculiari) e usando diversi stimatori per la distanza ma le incertezze sperimentali sono ancora troppo elevate per poter ottenere risultati soddisfacenti.