Il regime lineare

Il problema che stiamo affrontando diventa molto più semplice se ci troviamo in regime lineare, cioè nell'approssimazione in cui $\delta$ e $\epsilon$ nell'equazione 3.6 siano molto minori dell'unità. Sostituendo la 3.6 nell'equazione di Friedmann (1.27), ignorando i termini di ordine superiore al primo e ricordandoci che i termini che contengono solo le quantità medie si cancellano, si trova:

$$-2\frac{d\bar{a}}{dt}\frac{d}{dt}[\bar{a}\epsilon(t)]=\frac{... ...bar{a}^2(t)[\delta(t)-2\epsilon(t)]+\Delta[H^2_0(1-\Omega_0)];$$ (3.8)

l'ultimo termine rappresenta la variazione dentro la regione studiata della densità e tasso di espansione odierni. Quando l'Universo è dominato dalla materia la quantità $\rho a^3$ è costante e quindi $\delta = 3\epsilon$. Dall'equazione di Friedmann (1.27) per un Universo dominato da materia, scritta in termini di H₀ e $\Omega_{0}$:

$$H^2(t) = H_0^2[\Omega_0(1+z)^3 + (1-\Omega_0)(1+z)^2],$$

possiamo capire come evolve a(t) in funzione di z. Poiché l'Universo non è completamente vuoto, $\Omega > 0$, il primo termine sulla destra dell'equazione precedente sarà grande rispetto al secondo quando a(t) è piccolo, subito dopo il Big Bang; si trova cioè a(t)$\propto$t^2/3. Quindi per t$\rightarrow$0 nell'universo primordiale, lo spazio è praticamente piatto e $\Omega \rightarrow$1. Se la densità fosse minore della densità critica, $\Omega<1$, a redshift minori il secondo termine diventa maggiore e a(t)$\propto$t. L'espansione procede quasi a velocità costante, appena rallentata dalla forza di gravità. Usando il redshift z per specificare queste diverse epoche dell'Universo si può scrivere:

$$a(t)\propto t^{2/3}~~~per~~1+z \gg \vert\Omega^{-1}_0 - 1\vert,$$

$$a(t)\propto t~~~per~~1+z \ll \Omega_0^{-1} - 1.$$

Inserendo queste relazioni nella 3.8 si ottiene per l'evoluzione delle perturbazioni in teoria lineare:

$$\delta \propto t^{2/3} \propto \bar{a}(t)~~per~~1+z \gg \vert\Omega^{-1}_0 -1\vert,$$ (3.9)

$$\delta = costante~~per~~1+z \ll \Omega_0^{-1} -1.$$ (3.10)

Ad epoche primitive, quando z è grande, le perturbazioni di densità crescono in maniera proporzionale a R(t). Ad epoche più recenti, quando il moto medio è dato da $\bar{a} \propto t$, la materia scivola verso l'esterno a velocità costante. La sua gravità è troppo debole per avere qualche effetto sull'espansione, e quindi $\delta$ rimane fisso. Se vivessimo in un Universo a bassa densità con $\Omega_0 \approx 0.1$, le grandi strutture cesserebbero il loro accrescimento a $z \approx 8$. Se $\Omega \approx 1$, gli ammassi continuerebbero a diventare più massicci, e le zone di vuoto ad espandersi, fino ad oggi. Qualsiasi regione più densa della media tende ad attrarre le galassie circostanti; mentre le deviazioni frazionarie $\delta(x,t)$ dalla densità uniforme rimangono piccole, l'equazione 3.9 ci dice che in un certo periodo di tempo, $\delta$(x) cresce di un ugual fattore dappertutto.