Analisi della distribuzione galattica

La funzione che meglio descrive la tendenza delle galassie ad ammassarsi in strutture è la funzione di correlazione a due punti $\xi(r)$.

Se si scelgono due piccoli volumi a caso $\Delta V_1$ e $\Delta V_2$, e la densità media spaziale delle galassie è n per Megaparsec cubo, la probabilità di trovare una galassia nel volume $\Delta V_1$ è proprio $n\Delta V_1$. Se le galassie tendono ad ammassarsi, allora la probabilità di trovare una galassia anche in $\Delta V_2$ sarà più grande quando la separazione tra i due volumi, r₁₂, è piccola. La probabilità congiunta di trovare una galassia in entrambi i volumi si scrive come:

$$\Delta P = n^2[1+\xi(r_{12})]\Delta V_1\Delta V_2;$$ (3.1)

se $\xi(r) > 0$ a piccoli r, allora le galassie sono ammassate, mentre se $\xi(r) < 0$, tendono ad allontanarsi. In genere si calcola $\xi(r)$ stimando le distanze tra le galassie dai loro redshift, e correggendo per la distorsione introdotta dalle velocità peculiari.

Su scale $r\le 50h^{-1}$Mpc, $\xi(r)$ assume la forma funzionale:

$$\xi(r)= (r/r_0)^{-\gamma},$$ (3.2)

con $\gamma > 0$.

La probabiltà di trovare una galassia entro un certo raggio r da un'altra è significativamente più grande di quella che si avrebbe se le galassie fossero distribuite in maniera puramente casuale, quando r < r₀, dove r₀ è la lunghezza di correlazione. La lunghezza di correlazione r₀ viene per questo utilizzata come dimensione caratteristica dell'ammasso. Poiché $\xi(r)$ rappresenta la deviazione da una densità media, deve ad un certo punto diventare negativa all'aumentare di r.

Una media fatta su diverse osservazioni nell'intervallo $2h^{-1}\le r \le 16h^{-1}$Mpc permette una definizione abbastanza precisa di $\xi(r)$, come espressa nella 3.2, con $r_0 \approx 5h^{-1}$Mpc e $\gamma \approx 1.8$.

La funzione di correlazione oscilla attorno allo zero per r $\ge$ 30h^-1Mpc, che rappresenta grossolanamente le dimensioni caratteristiche delle mura o vuoti più grandi. Questo risultato non ci permette di concludere che la distribuzione galattica sia uniforme su scale più grandi ma solo di apprezzare il limite di tale funzione.

La funzione di correlazione fallisce nella descrizione di strutture monodimensionali o bidimensionali come sono i filamenti o le mura. Se il nostro volume $\Delta$V₁ si trova in una di queste strutture, la probabilità di trovare una galassia in $\Delta$V₂ è alta solo quando questo si trova nella stessa struttura. Poiché $\xi$(r) è una media su tutte le possibili posizioni di $\Delta$V₂, essa non sarà molto diversa da zero quando la separazione r è maggiore dello spessore del muro o del filamento. Si è tentato di superare questo problema utilizzando le funzioni di correlazione a tre punti e a quattro punti, che danno rispettivamente la probabilità congiunta di trovare le galassie in ognuno dei tre o quattro volumi, ma i risulati ottenuti non sono soddisfacenti.

La trasformata di Fourier di $\xi(r)$ è lo spettro di potenza P(k):

$$P(k) = \int \xi(r)exp(ik\cdot r)d^3r = 4\pi\int^{\infty}_0\xi(r)\frac{sin kr}{kr}r^2dr,$$ (3.3)

a piccoli valori di k corrispondono grandi scale spaziali. Poiché $\xi(r)$ è adimensionale, P(k) ha le dimensioni di un volume. La funzione $\sin kr /kr$ è positiva per $\vert kr\vert<\pi$, e oscilla con ampiezza decrescente all'aumentare di kr; quindi in prima approssimazione, P(k) avrà il suo massimo quando k^-1 ha un valore vicino al raggio in cui $\xi(r)$ va a zero.

Possiamo scrivere la densità numerica locale ad una posizione x come un multiplo del valore medio $\bar{\rho}$, cioè come $\rho(x) = \bar{\rho}[1+\delta(x)]$, e sia $\delta_R = <\delta(x)>$ la deviazione frazionaria $\delta(x)$ mediata entro una sfera di raggio R, che assumeremo essere una scala caratteristica di osservazione. Quando facciamo la media $<\delta_R>$ su tutte le sfere, questa deve essere nulla. La quantità adimensionale $<\delta^2_R>$ misura la non uniformità e la granulosità della distribuzione galattica su scala R. Si può legare $<\delta^2_R>$ a k³P(k), che è il numero adimensionale che descrive le fluttuazioni frazionarie in densità dentro un volume di raggio k^-1Mpc. Se gli ammassi di galassie con dimensioni k^-1 sono disposti a caso rispetto a quelli su scale più grandi e più piccole (l'ipotesi di fase casuale), si può scrivere:

$$\Big\langle\delta^2_R\Big\rangle\approx\frac{k^3P(k)}{2\pi^2}\equiv\Delta^2_k,$$ (3.4)

dove k$\approx$ R^-1. Spesso si sceglie di parametrizzare il ``clustering'' (cioè di esprimere quanto siano ammassate le galassie su una certa scala) con la quantità $\sigma_8$, definita come la fluttazione media di densità su una scala R = 8h^-1Mpc. Poiché P(k) diminuisce più lentamente di k^-3 ad alti numeri d'onda, $\Delta^2_k$ cresce con k e quindi più sono piccole le regioni che consideriamo più grande è la probabilità di trovare alte densità di galassie. Modelli cosmologici che descrivono la crescita della struttura possono predire uno spettro di potenza teorico, P_teorico(k), da paragonare a quello osservato della distribuzione galattica, P_galattico(k). Nei prossimi paragrafi vedremo come affrontare questo problema.