Effetti geometrici

Supponiamo di avere una sorgente distante alla coordinata comovente r₁ con luminosità L. Dalla metrica di Robertson-Walker sappiamo che quando questa luce ha raggiunto l'origine, è distribuita su una sfera di superficie $4\pi(a_0r_1)^2$, e quindi il flusso che si misurerebbe nello stesso sistema di riferimento è dato da:

$$F_1 = \frac{L}{4\pi(a_0r_1)^2}.$$ (2.8)

Il flusso misurato attualmente dall'osservatore posto all'origine, corretto per l'effetto Doppler come mostrato nell'ultimo paragrafo, è dato da:

$$F_0 = \frac{F_1}{(1+z)^2} = \frac{L}{4\pi(1+z)^2(a_0r_1)^2} = \frac{L}{4\pi d_L^2},$$ (2.9)

dove, in analogia alla formula valida in geometria euclidea per la diminuzione del flusso col quadrato della distanza, si definisce una ``distanza di luminosità'' d_L = (1+z)a₀r₁.

Nello studio delle galassie risulta importante considerare la brillanza superficiale di una sorgente estesa (come in Fig.2.2) di ampiezza angolare $\delta\theta$, dimensione lineare D e luminosità L. L'angolo solido sotteso dalla sorgente è $\delta\Omega = \pi\delta\theta^2/4$, e la relazione tra la dimensione angolare $\delta\theta$ e la dimensione lineare D si trova usando la metrica di Robertson-Walker: $D = a(t_1)r_1\delta\theta$. Inserendo questa relazione nella precedente si trova:

$$\delta\Omega = \frac{\pi D^2}{4d_A^2} = \frac{\pi D^2(1+z)^2}{4a_0^2r_1^2},$$ (2.10)

dove d_A=a₀r₁ è la distanza angolare definita così in analogia alla definizione di distanza di parallasse valida in una geometria euclidea.

Figure 2.2: Una sorgente di diametro lineare D sottende un angolo $\theta$ e un angolo solido $\Omega$ quando è vista da un osservatore a distanza d_A.

La brillanza superficiale della sorgente (ergs s^-1cm^-2arcsec^-2) diventa allora:

$$\Sigma' \frac{F'}{\delta\Omega} = \frac{L}{4\pi a_0^2r_1^2(1+z)^2} \frac{4a_0r_1^2}{\pi D^2(1+z)^2}$$ =

$$\frac{L}{\pi^2 D^2(1+z)^4}$$ =

$$\frac{\Sigma}{(1+z)^4}.$$ = (2.11)

È ovvio dalle unità di misura della brillanza superficiale che l'intensità del campo si riduce nella stessa maniera, cioè come (1+z)^-4. Poiché l'intensità totale è l'integrale di quella specifica, $I = \int I_nu d\nu$, e $d\nu = d\nu_1/(1+z)$, l'intensità specifica si trasforma come:

$$I'_\nu(\nu_0) =\frac{I_\nu(\nu_1)}{(1+z)^3} = \frac{I_\nu(\nu_0[1+z])}{(1+z)^3}.$$ (2.12)

Un risultato importante di questa trasformazione può essere visto considerando l'intensità osservata dello spettro di un corpo nero caratterizzato da una temperatura T₁ nel sistema di riferimento a riposo, e redshiftato di z. Nel sistema di riferimento a riposo l'intensità specifica è:

$$I_\nu(\nu_1) =\frac{2h\nu_1^3}{c^2}\Big[ exp\Big( \frac{h\nu_1}{kT_1}\Big) -1\Big]^{-1}.$$ (2.13)

 
Nel sistema di riferimento dell'osservatore, l'intensità specifica è data da:

$$I'_\nu(\nu_0) \frac{I_\nu[\nu_0(1+z)]}{(1+z)^3}$$ =

$$\frac{1}{(1+z)^3}\frac{2h\nu_0^3(1+z)^3}{c^2}\Big[ exp\Big( \frac{h\nu_0(1+z)}{kT_1}\Big) -1\Big]^{-1}$$ =

$$\frac{2h\nu_0^3}{c^2}\Big[ exp\Big( \frac{h\nu_0}{kT_0}\Big) -1\Big]^{-1},$$ = (2.14)

dove abbiamo definito T₀=T₁/(1+z). Abbiamo trovato che lo spettro di un corpo nero redshiftato è ancora uno spettro di corpo nero, ma caratterizzato da una temperatura diminuita di un fattore 1+z. Questa è la ragione per cui lo spettro della CBR conserva la forma di un corpo nero.

Le trasformazioni di varie quantità tra il sistema di riferimento di osservazione e quello osservato sono riassunte nella tabella 2.1.

 

Table 2.1: Trasformazioni di quantità irradiate

Quantità	Sistema	Sistema
(Unità di misura)	a riposo	dell'osservatore
Frequenza (Hz)	$\nu_1$	$\nu_0 = \nu_1(1+z)^{-1}$
Lunghezza d'onda ($\AA$)	$\lambda_1$	$\lambda_0 = \lambda_1(1+z)$
Flusso Specifico	$F_\nu(\nu_1)$	$F'_\nu(\nu_0) = F_\nu(\nu_1)/(1+z)$
(erg s-1cm-2Hz-1)
Flusso Specifico	$F_\lambda(\lambda_1)$	$F'_\lambda(\lambda_0) = F_\lambda(\lambda_1)/(1+z)^3$
(erg $s^{-1}cm^{-2}\AA^{-1}$)
Flusso	F	F' = F/(1+z)2
(erg s-1cm-2)
Brillanza Superficiale	$\Sigma$	$\Sigma' = \Sigma/(1+z)^4$
(erg s-1cm-2arcsec-2)
Intensità specifica	$I_\nu$	$I'_\nu(\nu_0) = I_\nu(\nu_1)/(1+z)^3$
(erg s-1cm-2Hz-1ster-1)
Intensità	I	I'= I/(1+z)4
(erg s-1cm-2ster-1)
Larghezza equivalente (Å)	$W(\lambda_1)$	$W'(\lambda_0) = W(\lambda_1)(1+z)$