Spettri redshiftati

Consideriamo il caso semplice di uno sciame di fotoni emesso nella nostra direzione da una galassia ad un certo tempo cosmico t₁, e che questi fotoni stiano arrivando ai nostri rivelatori al tempo presente t₀. Inizialmente, supponiamo che i fotoni occupino un volume dA cdt₁, come mostrato in Figura 2.1.

Nel sistema di riferimento dell'osservatore, il tasso al quale questi fotoni arrivano è diminuito dalla dilatazione temporale di un fattore 1+z. I fotoni, quando arrivano all'osservatore, sono distribuiti in un volume più grande dA cdt₀, dove dt₀=dt₁(1+z). Una maniera equivalente di vedere la cosa è dire che la lunghezza della scatola lungo la linea di vista è Lorentz-contratta nel sistema di riferimento di osservazione di un fattore 1+z. Come visto nel primo Capitolo, la frequenza di ogni fotone che arriva all'osservatore è diminuita di un fattore 1+z, che è naturalmente la definizione stessa di redshift.

Figure 2.1: I fotoni emessi da una galassia al tempo t₁ occupano un volume dAcdt₁. Tenendo conto della dilatazione temporale, il volume occupato dai fotoni quando raggiungono l'osservatore è dato da dAcdt₀, dove dt₀=dt₁(1+z).

La densità numerica dei fotoni nella scatola nell'intervallo di frequenza che va da $\nu$ a $\nu + d\nu$ e che si muovono nella direzione -r attraversando la superficie dA nell'unità di tempo in Figura 2.1, è data da $n_\nu$ fotoni ^-1 cm^-2 Hz^-1. Il numero totale di fotoni a frequenza $\nu_1$ (cioè, nel range da $\nu$ a $\nu + d\nu$) a t₁ è dato da:

$$n_\nu dAd\nu_1cdt_1.$$ (2.1)

Il numero di fotoni nella scatola deve essere conservato nonostante il fatto che la scatola cambi dimensioni col tempo di arrivo t₀. Calcoliamo a questo scopo il numero totale di fotoni alla frequenza osservata $\nu_0$ (cioè nell'intervallo da $\nu_0$ a $\nu_0 + d\nu_0$) è :

$$n_\nu(\nu_0)dAd\nu_0cdt_0 n_\nu(\nu_0) \frac {d\nu_1}{1+z}dA cdt_1(1+z)$$ =

$$n_\nu(\nu_0)dAd\nu_1cdt_1,$$ = (2.2)

e dalla (2.1):

$$n_\nu(\nu_0) = n_\nu(\nu_1);$$ (2.3)

quindi il numero di fotoni si conserva, ma i fotoni sono spostati in frequenza dall'intervallo $\nu_1,\nu_1 + d\nu_1$ all'intervallo $\nu_0,\nu_0 + d\nu_0$ e il loro tasso di arrivo è diminuito.

Vediamo cosa accade, parallelamente a questo, al flusso di energia proveniente dalla galassia (erg s^-1 cm^-2 Hz^-1) e dovuto ai fotoni che attraversano la superficie dA nella direzione -r. Poiché $n_\nu$ è propozionale al flusso di fotoni attraverso la superficie dA, il flusso di energia si ottiene semplicemente moltiplicando $n_\nu$ per l'energia del fotone $h\nu$. Usando il simbolo primo (') per indicare le proprietà misurate nel riferimento dell'osservatore, si trova:

$$F'_\nu(\nu_0) h\nu_0n_\nu(\nu_0)$$ =

$$h\frac{\nu_1}{1+z}n_\nu(\nu_1)$$ =

$$\frac{F_\nu(\nu_1)}{1+z}.$$ = (2.4)

Se i fotoni sono distribuiti su un certo range di frequenze, il flusso di energia totale è ottenuto integrando la relazione precedente sulla frequenza:

$$\int F'_\nu(\nu_0)d\nu_0$$ F' =

$$\int\frac{F_\nu(\nu_1)}{1+z}\frac{d\nu_1}{1+z}$$ =

$$\frac{F}{(1+z)^2}.$$ = (2.5)

Questa è probabilmente la più intuitiva di queste trasformazioni, poiché se consideriamo un flusso monocromatico di fotoni, troviamo che il flusso nel sistema di riferimento dell'osservatore è diminuito di un fattore (1+z)², dove un fattore di 1+z è dovuto alla diminuzione di energia per fotone e un altro fattore 1+z è dovuto al diminuito tasso di arrivo dei fotoni a causa del moto di allontanamento della sorgente dall'osservatore.

È spesso preferibile lavorare in unità dipendenti dalla lunghezza d'onda ($F_\lambda$) piuttosto che dalla frequenza ($F_\nu$). La trasformazione è immediata perché, indipendentemente dalla misura del flusso, l'energia deve essere la stessa. Poiché $F_\lambda = F'_\nu c/\lambda^2$, la trasformazione tra il sistema di rifermento osservato e quello a riposo diventa:

$$F'_\lambda(\lambda_0) \frac{F'_\nu(\nu_0)c}{\lambda_0^2}$$ =

$$\frac{F_\nu(\nu_1)}{1+z}\frac{c}{\lambda_1^2(1+z)^2}$$ =

$$\frac{F_\lambda(\lambda_1)}{(1+z)^3}.$$ = (2.6)

In fine, la larghezza equivalente^2.1 di una riga di emissione si trasforma come le lunghezze d'onda, e si ottiene:

$$W'_{\lambda_0} = \frac{F'_{line}}{F'_c(\lambda_0)} =\frac{F_... ...}{(1+z)^2}\frac{(1+z)^3}{F_c(\lambda_1)} = W_{\lambda_1(1+z)}.$$ (2.7)

È importante notare che queste trasformazioni non includono esplicitamente effetti di origine puramente cosmologica e quindi si applicano a spettri redshiftati sia per l'espansione cosmologica che per ordinario spostamento Doppler.