La soluzione di Jeans

Il primo tentativo di risolvere il problema della genesi delle galassie fu condotto nel 1902 da James Jeans, che studiò il collasso gravitazionale in un mezzo uniforme e infinito nel quale piccole perturbazioni di densità ($d \rho$) dessero origine ad onde di pressione (d p), tale che

$$d p = {\rm V}^2_{\rm s} d \rho,$$ (1.40)

dove ${\rm V}^2_{\rm s}$ è la velocità del suono. Il risultato fu che il collasso è possibile per una massa (conosciuta come la Massa di Jeans, ${\rm M}_{\rm J}$) grande abbastanza da rendere il tempo di attraversamento dell'onda di pressione più grande del tempo di caduta libera, in questo modo facendo si che il gradiente di pressione non possa arrestare il collasso gravitazionale. Per una regione sferica con densità media $\rho$ e costante gravitazionale ${\rm G}$, il criterio di Jeans è:

$${\rm M}_{\rm J}=\frac{1}{6} \pi \rho \left ( \frac{\pi {\rm V}^2_{\rm s}}{{\rm G} \rho} \right )^{3/2}.$$ (1.41)

è immediato applicare il ragionamento di Jeans al problema della formazione galattica nell'Universo primordiale e calcolare la massa sferica minima capace di arrestare l'espansione e iniziare il collasso. A z=1000, cioè subito dopo il disaccoppiamento,

$${\rm M}_{\rm J} \simeq 2\times 10^4 (\Omega_0 h^2)^{-1/2}\,{\rm M}_{\odot},$$ (1.42)

dove $\Omega_{0}$ è la densità di massa attuale e ${\rm M_{\odot}}$ è la massa solare ( $1\, {\rm M}_{\odot}=2\times10^{33}\, {\rm g}$).

A epoche precedenti il disaccoppiamento (z>1000 o $t\leq10^6$ anni), la densità di energia del campo di radiazione è dominante e la velocità del suono è relativistica. Durante questo periodo, la massa barionica minima richiesta per il collasso sale a

$${\rm M}_{\rm J}\simeq10^{14} (\Omega_0 h^2)^{-2}\, {\rm M}_{\odot}.$$ (1.43)

Questa massa è così grande da essere paragonabile all'intero contenuto barionico di un qualsiasi volume causalmente connesso^1.7 dello spazio nel periodo dominato dalla radiazione. Inoltre il tempo di scala necessario affinché tali fluttuazioni collassino è più lungo del tempo caratteristico di espansione dell'Universo.

Le due richieste garantiscono che nessuna fluttuazione barionica possa collassare gravitazionalmente nei primi 10⁶ yrs dopo il Big Bang e quindi che la formazione galattica cominci realisticamente solo nell'era dominata dalla materia.

Sebbene la massa di Jeans nell'equazione (1.42) rappresenti la scala più piccola perché le perturbazioni collassino, le fluttuazioni su scala molto maggiore sono nei fatti soppresse - l'analisi di Jeans ipotizza che materia e radiazione siano strettamente accoppiate per dare origine a fluttuazioni di pressione localizzate e adiabatiche, ma questa aspettativa è non realistica poiché la radiazione tenderebbe a fuoriuscire dalle regioni ad alta pressione ad un tasso determinato dal libero cammino medio per lo scattering Thompson. La massa ``scala'' caratteristica ( ${\rm M}_{\rm S}$) su cui si verifica questo fenomeno di ``fuoriuscita'' è data da

$${\rm M}_{\rm S}\simeq10^{12}\,(\Omega_0 h^2)^{-5/4}\,{\rm M}_{\odot}.$$ (1.44)

Questo calcolo fu eseguito per la prima volta da Silk [1968] e la quantità ${\rm M}_{\rm S}$ è conosciuta appunto come massa di Silk. Questa massa ``scala'' è significativamente più grande della massa barionica di Jeans al tempo di disaccoppiamento ed è più grande della massa di una galassia ( $10^{11}\, {\rm M}_{\odot}$), dato che $\Omega_0h^2\leq 2$. Quindi le fluttuazioni su tutte le scale più grandi delle galassie sono smorzate in un Universo dominato dalla materia barionica.

Cerchiamo di utilizzare il criterio di Jeans per stimare il redshift al quale le nubi protogalattiche cominciano a collassare: una perturbazione più grande di ${\rm M}_{\rm J}$ arresterà la sua espansione, per quanto visto, e comincerà a collassare in un tempo caratteristico t_c, dato da

$$t_c = \left ( \frac{3 \pi}{32 {\rm G} \rho} \right )^{1/2}.$$ (1.45)

Per poter confrontare i tempi scala caratteristici introduciamo la relazione tra il redshift e il tempo di ``look-back'', $\Delta t$,

$$\Delta t = {\rm H}_0^{-1} \int^{z}_{0} (1+z)^{-1}[(1+z)^2(1+\Omega_{\rm M}z) - z(2+z)\Omega_{\Lambda}]^{-1/2} dz,$$ (1.46)

dove $\Omega_{\rm M}$ e $\Omega_{\Lambda}$ sono i contributi alla densità di energia che vengono dalla materia e dalla costante cosmologica. La figura 1.3 mostra $\Delta t$ in funzione di z per tre modelli cosmologici diversi che, ad oggi, sembrano coprire tutte le alternative verosimili per $\Omega_{\rm M}$ e $\Omega_{\Lambda}$. Nonostante il continuo dibattito sul valore dei parametri cosmologici, dalla figura 1.3 si evince come in una qualsiasi plausibile cosmologia l'osservazione di galassie a $z\simeq1-5$ ci porti ad osservare epoche in cui l'Universo aveva circa il $50\%-10\%$ dell'età attuale.

Figure 1.3: Look-back time in funzione del redshift per i modelli cosmologici: $\Omega _{\rm M}=1.0, \Omega _{\Lambda }=0$ (linea spezzata); $\Omega _{\rm M}=0.2, \Omega _{\Lambda }=0$ (linea intera); $\Omega _{\rm M}=0.1, \Omega _{\Lambda }=0.9$ (linea punteggiata). Questi modelli sono stati calcolati con ${\rm H}_0=100h\,{\rm km}\,{\rm s}^{-1}$ Mpc^-1.

Consideriamo ad esempio la nostra Via Lattea: la massa totale derivata da studi dinamici è di circa $5\times10^{11}\,{\rm M}_{\odot}$ ed una stima della dimensione della nube protogalattica, derivata dalla distanza delle stelle più esterne nell'alone galattico, è di circa 100 kpc. Questo implica un densità di $3.6\times10^{-24}\,{\rm kg}\,{\rm m}^{-3}$ e un tempo di collasso di circa 10⁹ anni, ottenuto usando l'equazione (1.45) , che corrisponde ad un tempo di ``look-back'' di 7.2 Gyr se $\Omega_{\rm M}=0.2$ e di 5.4 Gyr se $\Omega_{\rm M}=1.0$ (in entrambi i casi si è assunto $\Omega_{\Lambda}=0, h=1$). Dalla Figura 1.3 si risale immediatamente dal tempo di ``look-back'' ai redshift di formazione, ottenendo rispettivamente $z_f\simeq 4-2$.

Se h=0.5, i redshift di formazione variano nell'intervallo $z_f\simeq 6-4$ per la stessa densità di massa. In conclusione, oggetti legati della dimensione delle galassie sono eventi molto improbabili a redshift maggiori di questi per la semplice ragione che l'età dell'Universo sarebbe inferiore rispetto al tempo di collasso in caduta libera.