Il Modello Chiuso

Il Modello Chiuso è caratterizzato da una curvatura positiva, k=1. La struttura spaziale, che chiameremo 3-Sfera, è simile alla superficie di una sfera, ma in 3 dimensioni invece che 2. Questo modello corrisponde ad un Universo che comincia ad espandersi al ``Big Bang'' e continua ad espandersi finché la gravità non ferma l'espansione. L'Universo collasserà in un ``Big Crunch'', che corrisponde al processo inverso del ``Big Bang''. La capacità della materia dell'Universo di arrestare l'espansione dipende ovviamente dalla densità. Se la densità di materia è troppo bassa, l'Universo avrà abbastanza momento generato dallo ``scoppio'' per vincere il richiamo della gravità. Nel Modello Chiuso la densità è grande abbastanza per fermare l'espansione e far cominciare una contrazione. Questo corrisponde ad un valore di $\Omega>1$, come è evidente mettendo k=1 nelle equazioni di Friedmann. Mettendo questo valore di k nelle equazioni di Friedmann (1.27), (1.28) e ponendo $\ddot{a}=-qH^{2}a$ si trova:

$$2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{{\dot{a}}^{2}}{a^2}+\frac{1}{a^2}=2\Big(-qH^{2} \Big) + H^{2} + \frac{1}{a^{2}}=0,$$

che si può scrivere come

$$\frac{1}{a^{2}}=H^{2} \Big[2q-1 \Big].$$ (1.34)

L'equazione (1.27) prende allora la forma:

$$\frac{{\dot{a}}^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{8 \pi G \rho}{3}.$$ (1.35)

Sommando le (1.34) e (1.35),

$$H^{2}+ \Bigg[ H^{2} \Big( 2q-1 \Big) \Bigg] = \frac{8 \pi G\rho}{3},$$

oppure:

$$2 q H^{2} = \frac{8 \pi G \rho}{3},$$

da cui,

$$\rho = \frac{3 H^{2} q}{4 \pi G}.$$ (1.36)

Paragonando la (1.36) con la densità critica (1.31) e il valore di q>1/2 nella Tabella 1.2, è evidente che deve essere $\rho>\rho_{c}$ perché l'Universo sia chiuso. In termini di $\Omega$, questo porta a:

$$\Omega = \frac{\rho}{\rho_{c}} > 1.$$ (1.37)