I modelli di Friedmann

Per trovare le equazioni del moto che descrivono l'espansione dell'Universo si devono usare le componenti della metrica di Robertson Walker e le equazioni di Einstein^1.6:

$$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R+\frac{\Lambda g_{\mu \nu}}{c^{2}}=-\frac{8 \pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu}.$$ (1.7)

Nella ricerca delle equazioni del moto, la parte più difficile del processo è scegliere un adeguato tensore Energia-Impulso. La composizione dell'Universo conosciuto è un argomento ancora molto discusso e poco chiaro. La procedura standard è quella di considerare distribuzioni semplificate di massa ed energia per ottenere un modello approssimato dell'evoluzione dell'Universo.

Il tensore Energia-Impulso può essere scritto come quello di un fluido perfetto nella forma:

$$T_{\mu \nu}=(p+\rho)u_{\mu}u_{\nu}-pg_{\mu \nu},$$ (1.8)

dove p è la pressione, $\rho$ è la densità e $u_{\mu}$ è la quadri-velocità. Ad epoche primordiali dell'Universo, il contributo dei fotoni alla densità di energia è stato notevole, ma con la discesa della temperatura sotto un livello critico i fotoni si sono disaccoppiati dalla materia barionica e il loro contributo energetico diventa trascurabile. Quindi è più facile considerare diverse distribuzioni energetiche per differenti epoche dell'Universo. Il contributo in massa alla densità di energia è di solito riportato come contributo barionico, poiché i barioni sono molto più massivi dei leptoni e questi ultimi possono quindi essere trascurati nella ricerca dei fattori ``pesanti'' nella densità di energia totale dell'Universo. C'è anche un contributo dovuto all'energia di vuoto, che entra nelle equazioni di Einstein attraverso la costante cosmologica $\Lambda$.

Per ogni tipo di contributo, c'è da considerare una corrispondente densità, $\rho$. L'energia totale può essere scritta come la somma dei diversi contributi, cioè come

$$\rho=\rho_{M}+\rho_{R}+\rho_{\Lambda}.$$ (1.9)

Assumendo inoltre che si stia trattando un fluido omogeneo e isotropo, la densità può essere legata alla pressione da una semplice equazione di stato (vedi Tabella 1.1):

$$p=\alpha \rho.$$ (1.10)

 

Table 1.1: Modelli di Friedmann

Densità $\rho$	Pressione p	$\alpha$	Epoca
$\rho_{R}$	$\frac{\rho}{3}$	$\frac{1}{3}$	Radiazione
$\rho_{M}$	0	0	Materia (Nube non relativistica)
$\rho_{\Lambda}$	$-\rho$	-1	Vuoto

Un'altra utile equazione riguarda la conservazione dell'energia (la prima legge della termodinamica). Assumendo che il fluido ideale si espanda adiabaticamente, si trova:

$$dE=-p \: dV,$$

che si può riscrivere come:

$$d(\rho a^{3})=-pd(a^{3}).$$ (1.11)

Dalla (1.10) e la (1.11) si trova:

$$d(\rho a^{3})=-\alpha \rho d(a^{3}).$$

Con la regola del prodotto l'equazione precedente si scrive,

$$\rho d(a^{3})+a^{3}d\rho=-\alpha \rho d(a^{3}).$$

Che può essere facilmente integrata:

$$\int \rho^{-1} d\rho = -(1+\alpha) \int a^{-3} d(a^{3}).$$

E infine si ottiene:

$$\rho \propto a^{-3(1+\alpha)}.$$ (1.12)

Nel periodo dominato dalla radiazione, quando la densità di energia dovuta ai fotoni era apprezzabile (da t=0 a circa 300,000 anni dopo il Big-Bang) e quella delle particelle massive trascurabile, la pressione è uguale ad un terzo della densità e quindi $\rho_{R} \sim a^{-4}$.

Dopo questo periodo, l'epoca dominata dalla materia può essere modellata come una ``nube'' che uniformemente riempie lo spazio. Poiché la temperatura è scesa a circa 3000 K, la maggior parte delle particelle ha velocità non relativistiche ($v \ll c$). Questo corrisponde ad una pressione trascurabile e $\alpha$ è quindi nulla, $\rho_{\Lambda} \sim \mbox{costante}$.

L'ultimo caso da considerare è quello dell'energia di vuoto. Se la costante cosmologica fosse diversa da zero, questa forma di densità di energia sarebbe dominante. In questo caso la pressione è misurata da una densità negativa. Questo corrisponde ad un valore di -1 per $\alpha$, e a $\rho_{M} \sim a^{-3}$. Questi risultati sono riassunti nella Tabella 1.1.

Data l'espressione del tensore Energia-Impulso si trovano le equazioni del moto. Usando i coefficienti della metrica di Robertson Walker (vedi equazione 1.3), si ottiene la parte sinistra delle equazioni di Einstein(1.7). Dalle equazioni di Einstein si trovano le equazioni di Friedmann nella loro forma più generale :

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4 \pi G}{3}\Big( \rho + 3p \Big)+\frac{\Lambda}{3},$$ (1.13)

$$\Big( \frac{\dot{a}}{a}\Big)^{2}=\frac{8 \pi G\rho}{3}-\frac{k}{a^{2}}+\frac{\Lambda}{3}.$$ (1.14)

Introduciamo ora alcune semplificazioni per rendere i nostri calcoli più facili. Abbiamo definito la costante di Hubble, H(t), come:

$$H(t)=\frac{{\dot{a}(t)}}{a(t)} .$$ (1.15)

Definiamo anche il parametro di decelerazione (chiamato cosí per ragioni storiche),

$$q(t)=-\frac{\ddot{a}(t)}{a(t) H^{2}(t)}.$$ (1.16)

Questi risultati sono stati ottenuti considerando l'espansione di Taylor del fattore di scala attorno al tempo attuale, t₀:

$$a(t)=a_{0}+\dot{a}_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}\ddot{a}_{0}(t-t_{0})^{2}+\ldots,$$

dove gli indici zero indicano che i termini sono valutati al tempo presente. Dalle equazioni (1.15) e (1.16), si ottiene

$$a(t) = a_{0} \big[1+H_{0}(t-t_{0})-\frac{1}{2}q_{0}H_{0}^{2}(t-t_{0})^{2}+ \ldots\big].$$ (1.17)

È interessante, a questo punto, ottenere quantitativamente la legge di Hubble (1.1). Il flusso F (l'energia per unità di tempo e area ricevuta dal rivelatore) è definito in termini della luminosità L (energia per unità di tempo emessa nel sistema di riferimento proprio della stella) e della distanza di luminosità d_L:

$$F=\frac{L}{4\pi d^{2}_{L}}.$$ (1.18)

La distanza di luminosità deve tenere in conto l'espansione dell'Universo e può essere scritta in termini del redshift z come:

d²_L=a²₀ r²(1+z)², (1.19)

con a₀ fattore di scala al tempo attuale e r coordinata comovente. Hubble usò il flusso misurato e la luminosità conosciuta per trovare la distanza degli oggetti che studiava. La distanza può essere confrontata con il redshift conosciuto usando l'equazione (1.19) e la velocità approssimata come vedremo. Dato che r non è una grandezza osservabile, la cosa interessante è capire che approssimazioni e assunzioni devono essere usate per derivare analiticamente il risultato desiderato.

Dividendo la (1.17) per a₀ e facendo uso della (1.6) si ottiene:

$$\frac{a_{0}}{a}=z=H_{0}(t_{0}-t)+\Big( 1+\frac{q_{0}}{2} \Big)H^{2}_{0}(t_{0}-t)^{2}+ \ldots,$$ (1.20)

che può essere risolta per (t₀-t),

$$(t_{0}-t)=H_{0}^{-1} \Bigg[ z- \Big( 1+\frac{q_{0}}{2} \Big)z^{2}+ \ldots \Bigg].$$ (1.21)

Ancora si può espandere la (1.5) in una serie di potenze,

f(r)=sinn^-1(r), (1.22)

dove r_e è stato sostituito con r e sinn^-1(r) è definito come sin^-1(r) per k=1, sinh^-1(r) per k=-1 e r for k=0. Quindi al primo ordine, la parte destra della (1.5) può essere approssimata con r, e la parte sinistra della (1.5) stimata come:

$$\int^{t_{0}}_{t_{e}} \frac{c \; dt}{a(t)} \approx \frac{c(t-t_{0})}{a_{0}}.$$ (1.23)

Usando l'approssimazione (1.22) e il risultato appena trovato abbiamo:

$$\frac{c(t-t_{0})}{a_{0}} \approx r.$$

Con la sostituzione di t-t₀ dalla (1.21) e tenendo solo i termini di ordine più basso si ottiene:

$$a_{0}r \approx c(t-t_{0}) \approx \frac{cz}{H_{0}}.$$

A basso redshift, $z \ll 1$, si trova che $z \approx v/c$. E facendo questa approssimazione ``finale'' si ottiene,

$$cz \approx v \approx a_{0}H_{0}r \approx H_{0} d_{p},$$ (1.24)

$$v \approx H_{0} d_{p},$$ (1.25)

dove d_p è la distanza fisica. In questa maniera abbiamo ottenuto la legge di Hubble (1.1) come un'approssimazione. La maniera in cui abbiamo ottenuto la legge riflette bene il motivo per cui valga solo localmente.

Per un Universo dominato dalla materia, la legge esatta di Hubble è data da,

$$H_{0} d_{l} = q_{0}^{-2} \Bigg[zq_{0}+(q_{0}-1)\Big(\sqrt{2q_{0}z+1}-1\Big) \Bigg],$$ (1.26)

che dipende dal parametro di decelerazione q₀, a sua volta funzione della curvatura e dalla densità di massa totale dell'Universo.